Filosofia da álgebra linear. Sempre que um aluno se pergunta por que linear… | por Justin Ting

By | Junho 12, 2022
Captura de tela do meu vídeo do Youtube: https://youtu.be/7Vma1G2p6A8

Sempre que um aluno se pergunta por que álgebra linear, matrizes e vetores são importantes, a resposta do professor geralmente soa assim:

“As matrizes são importantes porque são usadas em todos os lugares, como tecnologia de smartphone, GPS, mecânica quântica, robótica, estatística, inteligência artificial etc.”

Esta resposta está correta, mas acho insatisfatória e incompleta. Essa linha de pensamento é indutiva, mas quero algo dedutivo. Você poderia contar centenas aplicações práticas para álgebra linearmas não importa quanto tempo você faça essa lista, você não será capaz de descobrir a verdadeira natureza dessas misteriosas estruturas de números.

Depois de pensar e usar a álgebra linear por vários anos, criei várias maneiras de descrever a verdadeira natureza da álgebra linear. Espero explicar neste artigo as razões mais profundas pelas quais a magia aparece magicamente em quase todos os cantos do STEM.

Antes de entendermos por que as matrizes são úteis, devemos primeiro considerar por que os números são úteis.

Considerar a número 5″. Este número pode ser usado para descrever qualquer entidade mensurável que nossa imaginação permita: 5 árvores, 5 personalidades, 5 portões, 5 planetas, 5 elétrons, 5 religiões, etc. e útil.

No entanto, existem algumas ideias que um número não pode descrever. Em particular, o leque de ideias pode ser expandido juntando combinações estruturadas de números e assim nasce uma matriz.

Este método de estender uma gama de ideias pode ser facilmente comparado ao alfabeto romano. Uma lista aleatória de letras não significa muito por si só, mas uma certa permutação de letras forma uma palavra que tem um significado além do que uma lista aleatória de letras poderia fornecer. Quando você lê uma palavra, não processa cada letra separadamente. Você olha para um grupo de letras e destaca um significado, um significado que não está presente em nenhuma das letras individuais que compõem essa palavra.

A matriz opera na mesma filosofia. Uma lista aleatória de números pode ser útil, mas se você os colocar em um determinado layout, como a matriz triangular superior, toda uma nova história de números será contada. A matriz triangular superior transmite muito mais do que o fato de os números formarem um triângulo; isso lhe diz que a matriz descreve um sistema não singular que é solúvel. A matriz diagonal descreve um sistema com elementos que atuam apenas sobre si mesmos, e a matriz simétrica conta a história de um sistema que é de mão dupla. A álgebra linear é bonita porque a forma geométrica de uma matriz está profundamente relacionada ao seu comportamento algébrico.

A disposição geométrica dos números, como diagonal, simetria ou triângulo, dá personalidade à matriz. Você pode contar duas histórias diferentes juntando os mesmos números de duas maneiras diferentes.

Diferentes arranjos de números na matriz também fornecem diferentes autovalores e autovetores. Muitas vezes penso que a personalidade da matriz está contida em meus próprios valores. Quer a matriz descreva propagação, rotação ou oscilação, ela é codificada em autovalores.

Um monte de números aleatórios sem estrutura não pode transmitir tanta personalidade ou contar uma história tão interessante quanto um grupo de números organizados em uma estrutura. Se um número pode transmitir uma ideia geral de quantidade e uma matriz transmite uma ideia ainda mais complexa e geral de quantidade, fica mais óbvio por que as matrizes são tão úteis para descrever o universo.

Antes de passar para a próxima seção, alguns de vocês podem querer apontar como tensores, covetores e álgebra abstrata se estendem ainda mais. Esses elementos também são fascinantes, mas isso está além do escopo deste artigo.

“A natureza é esse estado, essa realidade, que na aparência consiste em vida e morte, ou, em outras palavras, na composição e decomposição de todas as coisas.” -ʻAbdu’l-Bahá, algumas perguntas com respostas

Composição e decomposição são processos gerais que podem ser usados ​​para descrever as muitas transformações que observamos no universo. Se o universo consiste em tantas composições e decomposições, então é perfeitamente lógico concluir que um operador matemático descrevendo essas transformações seria incrivelmente útil.

É aqui que as combinações lineares entram na imagem, assim como sua extensão, a multiplicação da matriz. As combinações lineares podem descrever efetivamente a composição e a degradação porque é simplesmente a soma dos produtos. É também o bloco de construção fundamental da álgebra linear. Um produto pontual é uma combinação linear. O determinante é uma combinação multilinear. A multiplicação de matrizes é uma cadeia de produtos pontuais, que é uma cadeia de combinações lineares.

Produto pontual e multiplicação de matrizes em uma imagem.

Quando você considera quão gerais são a adição e a multiplicação (que é apenas mais adição), segue-se que uma série de adição e multiplicação pode representar e aproximar uma grande variedade de operadores mais complexos. Combinações lineares podem ser usadas para calcular derivadas, integrais, convoluções, máquinas finitas, fnossas transformaçõese mais.

Matrizes que existem em si são poderosas, mas com a ajuda de combinações lineares, existe uma regra geral que dita como essas matrizes interagem. Assim, a estrutura geral (matriz) combinada com o operador geral (multiplicação de matrizes) fornece um campo que pode descrever inúmeros fenômenos.

Curiosamente, a álgebra linear só nos revelou seus segredos mais profundos no século 20, apesar de existir há muitos séculos. Enquanto a maioria das pessoas hoje aprende álgebra linear através da perspectiva de vetores e transformações, a matriz e o determinante são muito mais antigos do que as ideias de vetores no espaço multidimensional. Os computadores certamente ajudaram a acelerar o desenvolvimento da álgebra linear e vice-versa, mas os computadores não são a razão fundamental pela qual a álgebra linear é tão onipresente. O caminho para a compreensão da álgebra linear parece bastante arbitrário, mas a álgebra linear não existe simplesmente porque a humanidade conseguiu criar um sistema que por acaso é usado em muitos tópicos aparentemente não relacionados. A álgebra linear é o resultado de nossas tentativas de descrever o universo com a maior precisão possível, e sua natureza geral nos permite fazê-lo.

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